% Lo que sigue explica c'omo obtener las respuesta correctas con Matlab 'o
% verificarlas dependiendo del caso. No se indica c'omo se obtendr'ian "a
% mano".

% Problema 1: 
%==========================================================================

% 1) S'i, un polo en s=0 (la magnitud se hace infinita para frecuencia
% omega = 0 y la pendiente inicial del diagrama de Bode es -20 dB/dec; la
% fase inicial  es -pi/2.

% 2) El lazo es estable. (P=0 y N=0. Note que la magnitud es aproximadamente -10 dB, 
% i.e., aprox 0.316, para la frecuencia en que el 'angulo es -pi.)

% 3) Si K=5, N=2 y por lo tanto Z=2.  Lazo inestable.  Si K=-2, N=1 y Z=1.
% Lazo es tambi'en inestable.

% 4) Lazo estable para 0<K<1/0.316 = 3.162.  Polos imaginarios para K=0
% (uno en s=0) y para K=3.162 (dos en s=2.5j y s=-2.5j, aproximadamente).


% Problema 2: 
%==========================================================================

% 1)
s = tf('s')
figure
nyquist( (-s-3)/(s*(-s+1)) ) % Note que el encierro por infinito es por la IZQUIERDA!!
figure
nyquist( (-s-3)/(s*(-s+1)) , [0.5:1e-3:100]) % detalle

% 2) Hay estabilidad para K>1.


% Problema 3: 
%==========================================================================

% 1) No hay polos sobre el eje (magnitud es finita para toda frecuencia).

% 2) P=0 y N=0.  Por lo tanto el lazo es estable.

% 3) Si K=3, P=0, N=2 y el lazo es inestable.

% 4) Margen de fase es aproximadamente Mf = pi/4 (45 grados) y la frecuencia a 
% la que la magnitud es uno es aproximadamente wf = 5.  Por lo tanto el
% retardo  m'aximo admisible es de Mf/wf = pi/20 < 3. El lazo es inestable
% al agregar un retardo de 3 segundos.

% 5) Si se agrega un integrador, P=0 y N=0.  El lazo es estable. (El punto
% clave es aquel con 'angulo -pi/2 que, al agregarse un integrador, queda
% con fase -pi.  Su magnitud es 1.5 y frecuencia es w=3.  Al agregar el
% integrador, la magnitud ser'a 0.5, i.e., no hay encierros.)


% Problema 4: 
%==========================================================================

% 1) Hay estabilidad para 0<K<1/0.0625 = 16. (Esto se determin'o
% graficamante.  Algebraicamente, el K m'aximo admisible es 16.2.)

% 2) Margen de fase es aproximadamente Mf = 75*pi/180 (75 grados) y la frecuencia a 
% la que la magnitud es uno es aproximadamente wf = 0.55.  Por lo tanto el
% retardo  m'aximo admisible es de Mf/wf = 2.38 segundos.  (Esto se
% determin'o gr'aficamente.  Anal'iticamente Mf = 74.5*pi/180 y wf = 0.544.
% Use comando 

figure
margin( 10/(s*(s+3)*(s+6)) )

% .)